## #######   ####### #######      ####### ### ######## ######## ##      
       ## ########  ####### #######      ####### ### ######## ######## ##      
      ##      ##### ####### #######      ####### ### #### ### ########  ##     
      ##        ###                                  ###  ###           ###    
     ###  ###   ###   ###   #######  ###    ###  ### ###   ## ########  #####  
   #####  ###   ###   ###   #######  ###   ###   ### ###   ## ########  #####  
   #####  ###   ###   ###   #######        ###   ### ###   ## ########  ### #  
   # ###  ###  ####   ###   ###           ###  # ### ###   ## ###       ##  #  
   #  ##  ########   #####  ###           ###  # ### ###   ## ########  ##  #  
   #  ##  #######    #####  ###          ####### ### ###   ## ######## ##   #  
   #   ## ######     #####  ###          ####### ### ###   ## ######## ##   #  
   #   ##                                                                   #  
   #              ############################################              #  
   #             ##  DTFzine issue #4   Diciembre'02         ##             #  
   #             #   TiTuLo: Pensando en Decibelios           #             #  
   ###############   Autor : NaTaSaB                          ###############  
     #############   email : natasab@merlos.org               #############    
                 ##  Web   : http://dtfzine.cjb.net         ###              

                  ##############################################               
                   ############################################    


   +------------------------------------------------+
   |  INDICE -  Pensando en decibelios              |
   +------------------------------------------------+
   | 1.- Introducci贸n                               |
   | 2.- Resumen Logaritmos                         |
   | 3.- 驴Por qu茅 usamos logaritmos y qu茅 son?      |
   | 4.- Niveles absolutos                          |
   | 5.- Ejemplos                                   |
   | 6.- Despedida y Cierre                         |
   | 7-  M谩s Informaci贸n                            |
   +------------------------------------------------+



 --[1. Introducci贸n ]--
 
   Cada vez  es m谩s  com煤n encontarnos en  nuestra vida  cotidiana  con
 magnitudes  expresadas  con unidades  de  decibelios  y  qu茅 decir  si
 hablamos    de   equipos   de    telecomunicaciones   (amplificadores,
 transmisores, receptores,  antenas, sistemas de audio  y video...). El
 saber entender que significan  las magnitudes que vienen expresadas en
 estas unidades  o el operar  con ellas es  algo que a veces  puede ser
 confuso, veremos como no lo es tanto.

   Para seguir  este texto recomendable que  el lector  sepa  qu茅 es un
 logaritmo,c贸mo  es  la  representaci贸n   de la    funci贸n   logaritmo, 
 como  operar  con logaritmos   etc... Aqu铆 tans贸lo se  citar谩n algunas 
 a   modo  recordatorio. Si el lector no tiene ni  pajolera idea, ni se 
 acuerda de nada puede buscar en google o visitar la siguiente p谩gina:
  
  http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
 
   Tambi茅n,quiero comentar que en este texto  aparecen muchos  c谩lculos
 expl铆citos para  que el lector no acostumbrado  a realizar operaciones
 con logaritmos los comprenda mejor.
  
  --[2. Resumen Logaritmos ]--
  
  * Definici贸n
  
   a= logn(b)  <=> b= n^a

     algunas propiedades de la funci贸n logaritmo
  
  * Representacion Funci贸n Logar铆tmica
  
    funci贸n logaritmo
  
  * Propiedades de los logaritmos

    propiedades funci贸n logaritmo

 --[3 驴Por qu茅 usamos los decibelios y qu茅 son? ]--
   
  En general, las unidades logar铆tmicas son de la forma:
     
              x2 
      k路logn(----)
              x1
      
      donde 
      
     * logn = logaritmo de base n. La base suele ser e (Logaritmo neperiano) o
       10 (logaritmo decimal). Cuando la base es 10, hablamos de decibelios  y 
       cuando es e, hablamos de Nepers.
      
     * k = Factor de proporcionalidad
      
     * x1,x2 son dos medidas que se relacionan, las cuales pueden ser:
      
           -> Los valores  en  el  mismo  punto  en  dos  instantes  de tiempo
              diferentes, lo cual nos  da una  medida de la evoluci贸n temporal
	      de la se帽al medida. 
	      
	   -> Los valores  en  dos  puntos diferentes en  el mismo instante de 
	      tiempo, que nos dar谩  la medida de la atenuaci贸n o amplificaci贸n
	      que hay entre esos dos puntos. Por ejemplo, medir la se帽al a  la
	      entrada y salida de un amplificador.
	      
	   -> El valor de una magnitud relacionado con una referencia x1.
   
   La unidad logar铆tmica m谩s utilizada es el decibelio que tiene la forma:

      	     		      P2
      	     A(db)= 10路log10(----)
                              P1

    Nota: A partir de ahora log = log10  
    
 Cuando A es positivo a esta indicaci贸n se le denomina ganancia. Si es nega-
 tivo se le denomina p茅rdida o atenuaci贸n. Veamos por qu茅:
 
           P2
       a= ---- 
           P1

       si a>1 => log(a) > 0 
       si a=1 => log(a) = 0 
       si a<1 => log(a) < 0
                                             a路P1
       P2> P1 => P2= a路P1  con a > 1 => log( ---- ) = log(a) > 0 
                                              P1
       como vemos a>1  =>  a introduce una ganancia en P2 
      
      Si a=1 => P2=P1, no se introduce ninguna ganancia ni ninguna atenuaci贸n.
      
   Aclaremos esto con un ejemplo: 
   Supongamos  que  a  la  entrada  de un amplificador tenemos una potencia de 
   P1= 10 W y  a  la   salida tenemos  una potencia P2=1000 W, el amplificador
   tiene una ganancia:
       
       P2= a P1 => a= 100 u.n. (a>1)
       A(db)= 10 log(1000/10)= 10路 log(10虏)= 10路2路log(10)= 20 dB

       (Nota: log(10)= 1 porque 10鹿= 10 xDDD)

 Los  decibelios  son, por tanto,  unidades  logar铆tmicas  ya que  aparecen 
 como  fruto  de  aplicar  un  logaritmo  a  las  unidades  naturales.  Los
 motivos  por los que  se usan las representaciones en escalas logar铆tmicas 
 son:

   -> Convierten los productos  en sumas  y  las divisiones en restas, por lo
      que  son m谩s  sencillas  de  manejar. Esto  es  debido a  la  siguiente
      propiedad matem谩tica de los logaritmos:
      
      log(a 路 b) = log(a) + log(b)
            a
      log (---) = log(a) -  log(b)
            b

      As铆, si por ejemplo tenemos un amplificador con una ganancia G1=200
      y un atenuador A con una ganancia de G2=0.1, o lo que es lo mismo, con
      una atenuaci贸n A=10 a la salida (S) del sistema tendremos una ganancia 
      total (Gt):

	     Amplific.  Atenuador    
        E     [     ]   [     ]      S
         -----[  G  ]---[  A  ]---------
              [     ]   [     ]
	      
                    1           1
          Gt= G1 路 --- = 200 路 --- =  20 
                    A          10

      Es decir, si a la entrada E tenemos una se帽al de 2mW a la salida
      tendremos una se帽al de 40 mW
       
	      S= Gt 路 E
	      
      Si por el contrario trabajamos en decibelios, tendremos una Gt en dB:
	
	                             1
	Gt(dB) = 10log(Gt) + 10 log(---) = 23.0103 - 10 = 13.0103 dB
	                             A	

     Para calcular la ganancia en unidades naturales a partir de ganancias 
     expresadas en decibelios, tan s贸lo hay que despejar
    
	Gt(dB)= 10 log(Gt) => Gt = 10^(Gt[dB]/10)= 20 

      La se帽al de salida expresada en dBs:

	     S(db)= Gt(dB) + E(dB)

      Es decir, si a la entrada tenemos E=2mW que son E(dBm)= 10路log(2mW)=3dBm
      a la salida tendremos S(dBm)= 16 dBm. 

      (Nota: m谩s adelante veremos que son los dBm, aunque el lector ya se puede
      hacer una idea de lo que es :D)
    
      Puede que el lector haya notado que hemos prescindido del divisor a la
      hora de calcular las ganancias: Esto es debido a que se ha tomado como 
      referencia la ganancia unidad, en este caso 1mW. 

                       Gt
	Gt(dB)= 10log(----) = 10 log (Gt)
                       1


  -> Representan correctamente  el  comportamiento de ciertos  sentidos,  como
     el  oido  o  el  ojo  cuyas  respuestas   son  proporcionales  a  escalas 
     logar铆tmicas. Un ejemplo curioso donde observar  esto es en el control de
     volumen de Windows y Linux, mientras que Microsoft  opt贸 por una   escala 
     lineal, en Linux el control de volumen est谩 escalado de forma logar铆tmica.
     

   -> Reescalan  las  magnitudes  haciendo  que  exista menos diferencia entre
      los  valores m谩ximos y   los valores m铆nimos.  Por ejemplo, en  unidades
      naturales, la relaci贸n entre   potencia emitida por un transmisor  y  la
      que le llega al receptor puede estar en un orden de 10^-12 (diez elevado
      a menos doce) o a煤n menor:
       
       	       Pr
	    A= -- = 10^-12 = 0.000 000 000 001
     	       Pt
	       
      Siendo A la cantidad de potencia  recibida respecto de  la  transmitida.
      si lo pasamos a decibelios obtendremos que fracci贸n de potencia recibida
      es:
     
                            Pt
     	    A(db)= 10 log (----) = 10路log(10^-12)= 10路(-12)路log(10)= - 120 db 
     	    	      	    Pr                                 
	 
      A la hora de realizar gr谩ficas es m谩s comodo usar los decibelios cuando 
      los ordenes de magnitudes son tan dispares.


 --[4. Niveles Absolutos ]--
 
       Hay veces   que  nos  interesa dar la  medida de una magnitud en escala
 logar铆tmica  en lugar de  escala lineal. A esta  forma de expresar magnitudes
 se le denomina nivel absoluto.  Simplemente  hay  que verlo como un cambio de
 escala, pero que expresa el mismo valor. Hay muchos  ejemplos de este tipo de
 escala en la vida cotidiana como por ejemplo la  escala   Richter  para medir
 terremotos, en la que para pasar de un terremoto de nivel  6 a uno de nivel 7
 este ha de ser 10 veces mayor.

      El m谩s utilizado de estos niveles es el dBm para medida de potencias.
 Simplemente se trata de pasar a decibelios las potencias expresadas en mW.
 
                             P[mW]
 	     L(dBm) = 10路log(-----)= 10 log (P(mW))
                              1mW

      Si el lector recuerda, ya hemos visto un ejemplo de como operar con dbm.
 
    Otras magnitudes que se emplean son:
    
    Magnitud         Referencia        Expresion

    P		     1W		       L(dBW) = 10路log(P[W])
    P		     1KW	       L(dBKW)= 10路log(P[KW])
    V (Tensi贸n)	     0.775V	       L(dBV) = 20路log(V[V]/0.775V)
    V		     1mV	       L(dBj) = 20路log(V[mV])
    V		     1uV (**)          L(dBu) = 20路log(V[uV]) 
    Intensidad
    sonora               10^-12路W                       I[W/m虏]
    		     ni= --------       NI(dB) = 10 log(--------)  
		           m虏                             ni
   
   ** u = letra griega mu de micro (micro voltio)
   
  Cabe rese帽ar que cuando hablamos de dBV,dBj y dBu el factor por el que se
 multiplica es 20, esto es debido a que 

 	        V虏
 	    P= --- 
	        R

  Entonces, tomando como referencia un voltio aplicado a la misma resistencia:
                         V虏
  	   dbV= 10 log (---) = 20 log (V); 
                         1虏

  Por otra parte, en muchos de los equipos de audio habitualmente se  emplea
  la unidad dbV (a veces denominada dBu (u latina) o dBv). Un valor de 0 dbu
  corresponde al nivel de tensi贸n que aplicado sobre una carga de 600 ohmios
  genera una potencia de 1mW. Los dbu toman  una referencia de  0.775 Vrms.
  
     P= V虏/R => V= (P路R)^1/2 = (0.001路 600)^1/2= 0.775 V
     
  La impedancia de  600 ohms  es la  est谩ndar para  diversos   dispositivos y
 medios de transmisi贸n, como por ejemplo la l铆nea telef贸nica,  por lo cual se 
 ha tomado como carga por defecto. El sufico u significa unloaded,  es  decir
 sin carga, expresando que una medida en dBu se toma sin a帽adir ninguna carga
 adicional; esto evidentemente ser谩 cierto  si estamos midiendo en una  l铆nea 
 telef贸nica o en cualquier otro  medio  que presente  esa impedancia.  En ese 
 caso, si medimos sobre una carga de 600 ohms, los valores  obtenidos con los 
 dbu  coinciden num茅ricamente con los  obtenidos  en dbm  (puesto que los dbm 
 toman como referencia un mW).

  Para transformar una medida hecha en  dBm a dBW y viceversa  es  algo  tan
 sencillo como sumar o restar 30dBs. Veamos de d贸nde viene esto:
 
      1W = 1000 mW = 10^3 mW
      1mW= 0.001 W = 10^-3 W

      L(dBm)= 10路log(P[W]路1000)= 10路log(P[W]) + 10路log(10^3)= L(dBW) + 30
      L(dBW) = 10路log(P[W]/1000)= 10路log(P[mW]) - 10路log(10^3)=L(dBm) - 30
      
      Por tanto: 
              
	       L(dBm)= L(dBW) + 30
	       L(dBW)= L(dBm) - 30
	       
      Ejemplo: P= 40 W
      
      P(dBW) = 10路log(40) = 16.0206 dBW 
      P(dBm) = P(dBW) + 30 = 46.0206 dBm
      
      Es importante darse cuenta de que si la se帽al con la potencia P se hace
      pasar por un sistema  que a amplifica o la aten煤a  se  amplificar谩n los 
      mismos dBs tanto para la P expresada en dBm como para la P expresada en 
      dBW
      
      Ejemplo: Ganancia G= 20 dB
      
      P_salida(dBW)= P(dBW) + G = 36.0206 dBW
      P_salida(dBm)= P(dBm) + G = 66.0206 dBm
      
      Para pasar de dBu a dBm:
  
    L(dBm)= L(dBu) + 10 log(600/R)
    
  Para pasar de dBj a dBm:
   
    L(dbm) = L(dBj) - 30 - 10路log(R)
    
  Estando R en ohmios en ambos casos.
 
 --[5.- Ejemplos ]--

  Por 煤ltimo, vamos a ver algunos ejemplos de especificaciones en las que se
 usan los dBs como unidades.

  Supongamos que tenemos un sistema  de  telecomunicaciones  formado por una 
  antena  conectada  a  un   amplificador con  G=1000,  un cable de 10m  que 
  introduce  unas p茅rdidas  de 0.3 db/m , un amplificador  con  una ganancia 
  de 100 y un receptor. Si  a  la   antena le llega una potencia de 10^-8 mW  
  veamos que  potencia tenemos a la entrada del receptor:
     
     )
      )-| 
     )  |                                                     |----------|
	\---[ G1 ]----------10 m de cable ------------[ G2 ]----| Receptor |
                                                              |__________|
    
      Preceptor= Pantena(dbm) + G1(db) - Acable(db) + G2(db) 
               = -80 dbm      + 30db   - 3 db       + 20 db  = -33 dbm 
      
      
    El tener una potencia negativa a la entrada  de  la antena  (-80dBm)lo que 
    significa es que es  menor que la potencia referencia, en este  caso  1mW.
    Vemos una vez m谩s  como  es m谩s f谩cil  trabajar con dBs, primero al porque 
    nos  han reescalado  los  datos (pasamos de  operar  con 0.0000 0001  mW a 
    operar con-80 dbm)  y  segundo  porque  los productos se han convertido en 
    sumas.


 Por ejemplo,  a  la  hora de especificar filtros  se nos dan las frecuencias 
 de corte  inferior y superior a 3 dB. Como sabr茅is la misi贸n de un filtro es 
 dejar pasar s贸lo la se帽al de unas determinadas frecuencias y sus l铆mites 
 suelen marcarse con las frecuencias de corte a 3 dB. 
 
                Filtro Paso-Banda
 
     0dB +           -----------------
         | +20db/dec/|               | \  -20 dB/dec
    -3dB +- - - - -/ + - - - - - - - + -\
         |        /  |               |   \
 --------+----------------------------------------> f
         0     fl3dB fcl            fch   fh3dB
 
 
 En el ejemplo de la figura podemos ver un filtro de ganancia 1 
  
    G= 10 路log (1) = 0 dB
    
 entre las frecuencias fcl y fch. En fl3db y fh3db la se帽al tiene un nivel
 de 3 dBs menos 驴Qu茅 significa esto?
  
   Si es una se帽al de Voltaje:   -3dB= 20路log(G3dB) => G3dB=1/(1.4142) 
   Si es una se帽al de potencia:  -3dB= 10路log(G3dB) => G3dB=1/2
   
 Es decir, que la  frecuencia de corte a 3 dB es la frecuencia  en la que  la 
 se帽al sufre una atenuaci贸n de 1/2 (la mitad) si hablamos de  una potencia  y
 1/(2^1/2) (uno partido raiz de dos)  si  hablamos  de   una   diferencia  de 
 potencial.
   
 Tambi茅n  en  el dibujo  ascii vemos que la pendiente es de  -20  dBs/d茅cada.
 Esto  quiere  decir que entre la se帽al a la frecuencia f es atenuada 20  dBs
 menos que la se帽al a la frecuencia 10路f, 40 dBs menos que la se帽al 100路f
  
 Este tipo de filtros selectivos en frecuencia son  muy comunes,  por ejemplo,
 cuando sintonizas una emisora en tu receptor   de radio,  estas   desplazando
 la banda de frecuencias que dejas que demodule  tu receptor.  Lo mismo sucede
 cuando sintonizas la tele o cuando mueves los mandos  del equalizador gr谩fico
 de tu cadena musical o en el winamp/xmms.
   
 Otro 谩mbito en el que es com煤n  el  empleo de unidades logar铆tmicas es el  de 
 las especificaciones de las ganancias de antenas. A la ganancia m谩xima de  la 
 antena se le denomina GANANCIA DE POTENCIA y puede rondar entre 0 dB y 40 dB.

 Si se emplea como referencia la antena isotr贸pica usa como unidad el dbi. La
 antena isotr贸pica tiene una ganancia de 1, o lo que es lo mismo 0 dbi.

 A veces tambi茅n se emplea el dipolo lambda medios (dipolo cuyo tama帽o  es  la 
 mitad de la longitud de onda de la frecuencia de trabajo). El dipolo lambda/2
 tiene una ganancia G= 1.64 (G(db)= 2.1 dBi) respecto a la antena  isotr贸pica.
 Por  tanto, si en una antena nos especifican su ganancia respecto  al  dipolo 
 lambda medios y queremos saber su ganancia respecto  de la antena  isotr贸pica 
 tendremos que sumarle 2.1dB 
 

 --[ Despedida y Cierre ]--
  
  Pues hasta aqu铆 hemos llegado con esta peque帽a introducci贸n a los decibelios
  espero que por lo menos el lector tenga algo m谩s de idea que antes de leer
  el art铆culo. Nos vemos en el pr贸ximo n煤mero. Un Saludo 
  
              NaTaSaB (natasab @ merlos . org)
	       
	        http://www.merlos.org

	     
     
  --[ M谩s informaci贸n ]--
  
  Recordatorio de la matem谩tica Logar铆tmica
  http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
     
  Conversor de dBm, dBu, dBW ... (escrito en JavaScript)
  http://www.eurisco.com/jack/anttool/decibel-e.html

  Introducci贸nes al decibelio desde otros puntos de vista:
  http://platea.pntic.mec.es/~lmarti2/decibelio.htm
  http://www.qsl.net/ea7bva/cacharreo/ganancias.txt