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# ## DTFzine issue #4 Diciembre'02 ## #
# # TiTuLo: Pensando en Decibelios # #
############### Autor : NaTaSaB ###############
############# email : natasab@merlos.org #############
## Web : http://dtfzine.cjb.net ###
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| INDICE - Pensando en decibelios |
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| 1.- Introducci贸n |
| 2.- Resumen Logaritmos |
| 3.- 驴Por qu茅 usamos logaritmos y qu茅 son? |
| 4.- Niveles absolutos |
| 5.- Ejemplos |
| 6.- Despedida y Cierre |
| 7- M谩s Informaci贸n |
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--[1. Introducci贸n ]--
Cada vez es m谩s com煤n encontarnos en nuestra vida cotidiana con
magnitudes expresadas con unidades de decibelios y qu茅 decir si
hablamos de equipos de telecomunicaciones (amplificadores,
transmisores, receptores, antenas, sistemas de audio y video...). El
saber entender que significan las magnitudes que vienen expresadas en
estas unidades o el operar con ellas es algo que a veces puede ser
confuso, veremos como no lo es tanto.
Para seguir este texto recomendable que el lector sepa qu茅 es un
logaritmo,c贸mo es la representaci贸n de la funci贸n logaritmo,
como operar con logaritmos etc... Aqu铆 tans贸lo se citar谩n algunas
a modo recordatorio. Si el lector no tiene ni pajolera idea, ni se
acuerda de nada puede buscar en google o visitar la siguiente p谩gina:
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
Tambi茅n,quiero comentar que en este texto aparecen muchos c谩lculos
expl铆citos para que el lector no acostumbrado a realizar operaciones
con logaritmos los comprenda mejor.
--[2. Resumen Logaritmos ]--
* Definici贸n
a= logn(b) <=> b= n^a
* Representacion Funci贸n Logar铆tmica
* Propiedades de los logaritmos
--[3 驴Por qu茅 usamos los decibelios y qu茅 son? ]--
En general, las unidades logar铆tmicas son de la forma:
x2
k路logn(----)
x1
donde
* logn = logaritmo de base n. La base suele ser e (Logaritmo neperiano) o
10 (logaritmo decimal). Cuando la base es 10, hablamos de decibelios y
cuando es e, hablamos de Nepers.
* k = Factor de proporcionalidad
* x1,x2 son dos medidas que se relacionan, las cuales pueden ser:
-> Los valores en el mismo punto en dos instantes de tiempo
diferentes, lo cual nos da una medida de la evoluci贸n temporal
de la se帽al medida.
-> Los valores en dos puntos diferentes en el mismo instante de
tiempo, que nos dar谩 la medida de la atenuaci贸n o amplificaci贸n
que hay entre esos dos puntos. Por ejemplo, medir la se帽al a la
entrada y salida de un amplificador.
-> El valor de una magnitud relacionado con una referencia x1.
La unidad logar铆tmica m谩s utilizada es el decibelio que tiene la forma:
P2
A(db)= 10路log10(----)
P1
Nota: A partir de ahora log = log10
Cuando A es positivo a esta indicaci贸n se le denomina ganancia. Si es nega-
tivo se le denomina p茅rdida o atenuaci贸n. Veamos por qu茅:
P2
a= ----
P1
si a>1 => log(a) > 0
si a=1 => log(a) = 0
si a<1 => log(a) < 0
a路P1
P2> P1 => P2= a路P1 con a > 1 => log( ---- ) = log(a) > 0
P1
como vemos a>1 => a introduce una ganancia en P2
Si a=1 => P2=P1, no se introduce ninguna ganancia ni ninguna atenuaci贸n.
Aclaremos esto con un ejemplo:
Supongamos que a la entrada de un amplificador tenemos una potencia de
P1= 10 W y a la salida tenemos una potencia P2=1000 W, el amplificador
tiene una ganancia:
P2= a P1 => a= 100 u.n. (a>1)
A(db)= 10 log(1000/10)= 10路 log(10虏)= 10路2路log(10)= 20 dB
(Nota: log(10)= 1 porque 10鹿= 10 xDDD)
Los decibelios son, por tanto, unidades logar铆tmicas ya que aparecen
como fruto de aplicar un logaritmo a las unidades naturales. Los
motivos por los que se usan las representaciones en escalas logar铆tmicas
son:
-> Convierten los productos en sumas y las divisiones en restas, por lo
que son m谩s sencillas de manejar. Esto es debido a la siguiente
propiedad matem谩tica de los logaritmos:
log(a 路 b) = log(a) + log(b)
a
log (---) = log(a) - log(b)
b
As铆, si por ejemplo tenemos un amplificador con una ganancia G1=200
y un atenuador A con una ganancia de G2=0.1, o lo que es lo mismo, con
una atenuaci贸n A=10 a la salida (S) del sistema tendremos una ganancia
total (Gt):
Amplific. Atenuador
E [ ] [ ] S
-----[ G ]---[ A ]---------
[ ] [ ]
1 1
Gt= G1 路 --- = 200 路 --- = 20
A 10
Es decir, si a la entrada E tenemos una se帽al de 2mW a la salida
tendremos una se帽al de 40 mW
S= Gt 路 E
Si por el contrario trabajamos en decibelios, tendremos una Gt en dB:
1
Gt(dB) = 10log(Gt) + 10 log(---) = 23.0103 - 10 = 13.0103 dB
A
Para calcular la ganancia en unidades naturales a partir de ganancias
expresadas en decibelios, tan s贸lo hay que despejar
Gt(dB)= 10 log(Gt) => Gt = 10^(Gt[dB]/10)= 20
La se帽al de salida expresada en dBs:
S(db)= Gt(dB) + E(dB)
Es decir, si a la entrada tenemos E=2mW que son E(dBm)= 10路log(2mW)=3dBm
a la salida tendremos S(dBm)= 16 dBm.
(Nota: m谩s adelante veremos que son los dBm, aunque el lector ya se puede
hacer una idea de lo que es :D)
Puede que el lector haya notado que hemos prescindido del divisor a la
hora de calcular las ganancias: Esto es debido a que se ha tomado como
referencia la ganancia unidad, en este caso 1mW.
Gt
Gt(dB)= 10log(----) = 10 log (Gt)
1
-> Representan correctamente el comportamiento de ciertos sentidos, como
el oido o el ojo cuyas respuestas son proporcionales a escalas
logar铆tmicas. Un ejemplo curioso donde observar esto es en el control de
volumen de Windows y Linux, mientras que Microsoft opt贸 por una escala
lineal, en Linux el control de volumen est谩 escalado de forma logar铆tmica.
-> Reescalan las magnitudes haciendo que exista menos diferencia entre
los valores m谩ximos y los valores m铆nimos. Por ejemplo, en unidades
naturales, la relaci贸n entre potencia emitida por un transmisor y la
que le llega al receptor puede estar en un orden de 10^-12 (diez elevado
a menos doce) o a煤n menor:
Pr
A= -- = 10^-12 = 0.000 000 000 001
Pt
Siendo A la cantidad de potencia recibida respecto de la transmitida.
si lo pasamos a decibelios obtendremos que fracci贸n de potencia recibida
es:
Pt
A(db)= 10 log (----) = 10路log(10^-12)= 10路(-12)路log(10)= - 120 db
Pr
A la hora de realizar gr谩ficas es m谩s comodo usar los decibelios cuando
los ordenes de magnitudes son tan dispares.
--[4. Niveles Absolutos ]--
Hay veces que nos interesa dar la medida de una magnitud en escala
logar铆tmica en lugar de escala lineal. A esta forma de expresar magnitudes
se le denomina nivel absoluto. Simplemente hay que verlo como un cambio de
escala, pero que expresa el mismo valor. Hay muchos ejemplos de este tipo de
escala en la vida cotidiana como por ejemplo la escala Richter para medir
terremotos, en la que para pasar de un terremoto de nivel 6 a uno de nivel 7
este ha de ser 10 veces mayor.
El m谩s utilizado de estos niveles es el dBm para medida de potencias.
Simplemente se trata de pasar a decibelios las potencias expresadas en mW.
P[mW]
L(dBm) = 10路log(-----)= 10 log (P(mW))
1mW
Si el lector recuerda, ya hemos visto un ejemplo de como operar con dbm.
Otras magnitudes que se emplean son:
Magnitud Referencia Expresion
P 1W L(dBW) = 10路log(P[W])
P 1KW L(dBKW)= 10路log(P[KW])
V (Tensi贸n) 0.775V L(dBV) = 20路log(V[V]/0.775V)
V 1mV L(dBj) = 20路log(V[mV])
V 1uV (**) L(dBu) = 20路log(V[uV])
Intensidad
sonora 10^-12路W I[W/m虏]
ni= -------- NI(dB) = 10 log(--------)
m虏 ni
** u = letra griega mu de micro (micro voltio)
Cabe rese帽ar que cuando hablamos de dBV,dBj y dBu el factor por el que se
multiplica es 20, esto es debido a que
V虏
P= ---
R
Entonces, tomando como referencia un voltio aplicado a la misma resistencia:
V虏
dbV= 10 log (---) = 20 log (V);
1虏
Por otra parte, en muchos de los equipos de audio habitualmente se emplea
la unidad dbV (a veces denominada dBu (u latina) o dBv). Un valor de 0 dbu
corresponde al nivel de tensi贸n que aplicado sobre una carga de 600 ohmios
genera una potencia de 1mW. Los dbu toman una referencia de 0.775 Vrms.
P= V虏/R => V= (P路R)^1/2 = (0.001路 600)^1/2= 0.775 V
La impedancia de 600 ohms es la est谩ndar para diversos dispositivos y
medios de transmisi贸n, como por ejemplo la l铆nea telef贸nica, por lo cual se
ha tomado como carga por defecto. El sufico u significa unloaded, es decir
sin carga, expresando que una medida en dBu se toma sin a帽adir ninguna carga
adicional; esto evidentemente ser谩 cierto si estamos midiendo en una l铆nea
telef贸nica o en cualquier otro medio que presente esa impedancia. En ese
caso, si medimos sobre una carga de 600 ohms, los valores obtenidos con los
dbu coinciden num茅ricamente con los obtenidos en dbm (puesto que los dbm
toman como referencia un mW).
Para transformar una medida hecha en dBm a dBW y viceversa es algo tan
sencillo como sumar o restar 30dBs. Veamos de d贸nde viene esto:
1W = 1000 mW = 10^3 mW
1mW= 0.001 W = 10^-3 W
L(dBm)= 10路log(P[W]路1000)= 10路log(P[W]) + 10路log(10^3)= L(dBW) + 30
L(dBW) = 10路log(P[W]/1000)= 10路log(P[mW]) - 10路log(10^3)=L(dBm) - 30
Por tanto:
L(dBm)= L(dBW) + 30
L(dBW)= L(dBm) - 30
Ejemplo: P= 40 W
P(dBW) = 10路log(40) = 16.0206 dBW
P(dBm) = P(dBW) + 30 = 46.0206 dBm
Es importante darse cuenta de que si la se帽al con la potencia P se hace
pasar por un sistema que a amplifica o la aten煤a se amplificar谩n los
mismos dBs tanto para la P expresada en dBm como para la P expresada en
dBW
Ejemplo: Ganancia G= 20 dB
P_salida(dBW)= P(dBW) + G = 36.0206 dBW
P_salida(dBm)= P(dBm) + G = 66.0206 dBm
Para pasar de dBu a dBm:
L(dBm)= L(dBu) + 10 log(600/R)
Para pasar de dBj a dBm:
L(dbm) = L(dBj) - 30 - 10路log(R)
Estando R en ohmios en ambos casos.
--[5.- Ejemplos ]--
Por 煤ltimo, vamos a ver algunos ejemplos de especificaciones en las que se
usan los dBs como unidades.
Supongamos que tenemos un sistema de telecomunicaciones formado por una
antena conectada a un amplificador con G=1000, un cable de 10m que
introduce unas p茅rdidas de 0.3 db/m , un amplificador con una ganancia
de 100 y un receptor. Si a la antena le llega una potencia de 10^-8 mW
veamos que potencia tenemos a la entrada del receptor:
)
)-|
) | |----------|
\---[ G1 ]----------10 m de cable ------------[ G2 ]----| Receptor |
|__________|
Preceptor= Pantena(dbm) + G1(db) - Acable(db) + G2(db)
= -80 dbm + 30db - 3 db + 20 db = -33 dbm
El tener una potencia negativa a la entrada de la antena (-80dBm)lo que
significa es que es menor que la potencia referencia, en este caso 1mW.
Vemos una vez m谩s como es m谩s f谩cil trabajar con dBs, primero al porque
nos han reescalado los datos (pasamos de operar con 0.0000 0001 mW a
operar con-80 dbm) y segundo porque los productos se han convertido en
sumas.
Por ejemplo, a la hora de especificar filtros se nos dan las frecuencias
de corte inferior y superior a 3 dB. Como sabr茅is la misi贸n de un filtro es
dejar pasar s贸lo la se帽al de unas determinadas frecuencias y sus l铆mites
suelen marcarse con las frecuencias de corte a 3 dB.
Filtro Paso-Banda
0dB + -----------------
| +20db/dec/| | \ -20 dB/dec
-3dB +- - - - -/ + - - - - - - - + -\
| / | | \
--------+----------------------------------------> f
0 fl3dB fcl fch fh3dB
En el ejemplo de la figura podemos ver un filtro de ganancia 1
G= 10 路log (1) = 0 dB
entre las frecuencias fcl y fch. En fl3db y fh3db la se帽al tiene un nivel
de 3 dBs menos 驴Qu茅 significa esto?
Si es una se帽al de Voltaje: -3dB= 20路log(G3dB) => G3dB=1/(1.4142)
Si es una se帽al de potencia: -3dB= 10路log(G3dB) => G3dB=1/2
Es decir, que la frecuencia de corte a 3 dB es la frecuencia en la que la
se帽al sufre una atenuaci贸n de 1/2 (la mitad) si hablamos de una potencia y
1/(2^1/2) (uno partido raiz de dos) si hablamos de una diferencia de
potencial.
Tambi茅n en el dibujo ascii vemos que la pendiente es de -20 dBs/d茅cada.
Esto quiere decir que entre la se帽al a la frecuencia f es atenuada 20 dBs
menos que la se帽al a la frecuencia 10路f, 40 dBs menos que la se帽al 100路f
Este tipo de filtros selectivos en frecuencia son muy comunes, por ejemplo,
cuando sintonizas una emisora en tu receptor de radio, estas desplazando
la banda de frecuencias que dejas que demodule tu receptor. Lo mismo sucede
cuando sintonizas la tele o cuando mueves los mandos del equalizador gr谩fico
de tu cadena musical o en el winamp/xmms.
Otro 谩mbito en el que es com煤n el empleo de unidades logar铆tmicas es el de
las especificaciones de las ganancias de antenas. A la ganancia m谩xima de la
antena se le denomina GANANCIA DE POTENCIA y puede rondar entre 0 dB y 40 dB.
Si se emplea como referencia la antena isotr贸pica usa como unidad el dbi. La
antena isotr贸pica tiene una ganancia de 1, o lo que es lo mismo 0 dbi.
A veces tambi茅n se emplea el dipolo lambda medios (dipolo cuyo tama帽o es la
mitad de la longitud de onda de la frecuencia de trabajo). El dipolo lambda/2
tiene una ganancia G= 1.64 (G(db)= 2.1 dBi) respecto a la antena isotr贸pica.
Por tanto, si en una antena nos especifican su ganancia respecto al dipolo
lambda medios y queremos saber su ganancia respecto de la antena isotr贸pica
tendremos que sumarle 2.1dB
--[ Despedida y Cierre ]--
Pues hasta aqu铆 hemos llegado con esta peque帽a introducci贸n a los decibelios
espero que por lo menos el lector tenga algo m谩s de idea que antes de leer
el art铆culo. Nos vemos en el pr贸ximo n煤mero. Un Saludo
NaTaSaB (natasab @ merlos . org)
http://www.merlos.org
--[ M谩s informaci贸n ]--
Recordatorio de la matem谩tica Logar铆tmica
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
Conversor de dBm, dBu, dBW ... (escrito en JavaScript)
http://www.eurisco.com/jack/anttool/decibel-e.html
Introducci贸nes al decibelio desde otros puntos de vista:
http://platea.pntic.mec.es/~lmarti2/decibelio.htm
http://www.qsl.net/ea7bva/cacharreo/ganancias.txt
es
en