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# ## DTFzine issue #4 Diciembre'02 ## #
# # TiTuLo: Pensando en Decibelios # #
############### Autor : NaTaSaB ###############
############# email : natasab@merlos.org #############
## Web : http://dtfzine.cjb.net ###
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| INDICE - Pensando en decibelios |
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| 1.- Introducción |
| 2.- Resumen Logaritmos |
| 3.- ¿Por qué usamos logaritmos y qué son? |
| 4.- Niveles absolutos |
| 5.- Ejemplos |
| 6.- Despedida y Cierre |
| 7- Más Información |
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--[1. Introducción ]--
Cada vez es más común encontarnos en nuestra vida cotidiana con
magnitudes expresadas con unidades de decibelios y qué decir si
hablamos de equipos de telecomunicaciones (amplificadores,
transmisores, receptores, antenas, sistemas de audio y video...). El
saber entender que significan las magnitudes que vienen expresadas en
estas unidades o el operar con ellas es algo que a veces puede ser
confuso, veremos como no lo es tanto.
Para seguir este texto recomendable que el lector sepa qué es un
logaritmo,cómo es la representación de la función logaritmo,
como operar con logaritmos etc... Aquí tansólo se citarán algunas
a modo recordatorio. Si el lector no tiene ni pajolera idea, ni se
acuerda de nada puede buscar en google o visitar la siguiente página:
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
También,quiero comentar que en este texto aparecen muchos cálculos
explícitos para que el lector no acostumbrado a realizar operaciones
con logaritmos los comprenda mejor.
--[2. Resumen Logaritmos ]--
* Definición
a= logn(b) <=> b= n^a
* Representacion Función Logarítmica
* Propiedades de los logaritmos
--[3 ¿Por qué usamos los decibelios y qué son? ]--
En general, las unidades logarítmicas son de la forma:
x2
k·logn(----)
x1
donde
* logn = logaritmo de base n. La base suele ser e (Logaritmo neperiano) o
10 (logaritmo decimal). Cuando la base es 10, hablamos de decibelios y
cuando es e, hablamos de Nepers.
* k = Factor de proporcionalidad
* x1,x2 son dos medidas que se relacionan, las cuales pueden ser:
-> Los valores en el mismo punto en dos instantes de tiempo
diferentes, lo cual nos da una medida de la evolución temporal
de la señal medida.
-> Los valores en dos puntos diferentes en el mismo instante de
tiempo, que nos dará la medida de la atenuación o amplificación
que hay entre esos dos puntos. Por ejemplo, medir la señal a la
entrada y salida de un amplificador.
-> El valor de una magnitud relacionado con una referencia x1.
La unidad logarítmica más utilizada es el decibelio que tiene la forma:
P2
A(db)= 10·log10(----)
P1
Nota: A partir de ahora log = log10
Cuando A es positivo a esta indicación se le denomina ganancia. Si es nega-
tivo se le denomina pérdida o atenuación. Veamos por qué:
P2
a= ----
P1
si a>1 => log(a) > 0
si a=1 => log(a) = 0
si a<1 => log(a) < 0
a·P1
P2> P1 => P2= a·P1 con a > 1 => log( ---- ) = log(a) > 0
P1
como vemos a>1 => a introduce una ganancia en P2
Si a=1 => P2=P1, no se introduce ninguna ganancia ni ninguna atenuación.
Aclaremos esto con un ejemplo:
Supongamos que a la entrada de un amplificador tenemos una potencia de
P1= 10 W y a la salida tenemos una potencia P2=1000 W, el amplificador
tiene una ganancia:
P2= a P1 => a= 100 u.n. (a>1)
A(db)= 10 log(1000/10)= 10· log(10²)= 10·2·log(10)= 20 dB
(Nota: log(10)= 1 porque 10¹= 10 xDDD)
Los decibelios son, por tanto, unidades logarítmicas ya que aparecen
como fruto de aplicar un logaritmo a las unidades naturales. Los
motivos por los que se usan las representaciones en escalas logarítmicas
son:
-> Convierten los productos en sumas y las divisiones en restas, por lo
que son más sencillas de manejar. Esto es debido a la siguiente
propiedad matemática de los logaritmos:
log(a · b) = log(a) + log(b)
a
log (---) = log(a) - log(b)
b
Así, si por ejemplo tenemos un amplificador con una ganancia G1=200
y un atenuador A con una ganancia de G2=0.1, o lo que es lo mismo, con
una atenuación A=10 a la salida (S) del sistema tendremos una ganancia
total (Gt):
Amplific. Atenuador
E [ ] [ ] S
-----[ G ]---[ A ]---------
[ ] [ ]
1 1
Gt= G1 · --- = 200 · --- = 20
A 10
Es decir, si a la entrada E tenemos una señal de 2mW a la salida
tendremos una señal de 40 mW
S= Gt · E
Si por el contrario trabajamos en decibelios, tendremos una Gt en dB:
1
Gt(dB) = 10log(Gt) + 10 log(---) = 23.0103 - 10 = 13.0103 dB
A
Para calcular la ganancia en unidades naturales a partir de ganancias
expresadas en decibelios, tan sólo hay que despejar
Gt(dB)= 10 log(Gt) => Gt = 10^(Gt[dB]/10)= 20
La señal de salida expresada en dBs:
S(db)= Gt(dB) + E(dB)
Es decir, si a la entrada tenemos E=2mW que son E(dBm)= 10·log(2mW)=3dBm
a la salida tendremos S(dBm)= 16 dBm.
(Nota: más adelante veremos que son los dBm, aunque el lector ya se puede
hacer una idea de lo que es :D)
Puede que el lector haya notado que hemos prescindido del divisor a la
hora de calcular las ganancias: Esto es debido a que se ha tomado como
referencia la ganancia unidad, en este caso 1mW.
Gt
Gt(dB)= 10log(----) = 10 log (Gt)
1
-> Representan correctamente el comportamiento de ciertos sentidos, como
el oido o el ojo cuyas respuestas son proporcionales a escalas
logarítmicas. Un ejemplo curioso donde observar esto es en el control de
volumen de Windows y Linux, mientras que Microsoft optó por una escala
lineal, en Linux el control de volumen está escalado de forma logarítmica.
-> Reescalan las magnitudes haciendo que exista menos diferencia entre
los valores máximos y los valores mínimos. Por ejemplo, en unidades
naturales, la relación entre potencia emitida por un transmisor y la
que le llega al receptor puede estar en un orden de 10^-12 (diez elevado
a menos doce) o aún menor:
Pr
A= -- = 10^-12 = 0.000 000 000 001
Pt
Siendo A la cantidad de potencia recibida respecto de la transmitida.
si lo pasamos a decibelios obtendremos que fracción de potencia recibida
es:
Pt
A(db)= 10 log (----) = 10·log(10^-12)= 10·(-12)·log(10)= - 120 db
Pr
A la hora de realizar gráficas es más comodo usar los decibelios cuando
los ordenes de magnitudes son tan dispares.
--[4. Niveles Absolutos ]--
Hay veces que nos interesa dar la medida de una magnitud en escala
logarítmica en lugar de escala lineal. A esta forma de expresar magnitudes
se le denomina nivel absoluto. Simplemente hay que verlo como un cambio de
escala, pero que expresa el mismo valor. Hay muchos ejemplos de este tipo de
escala en la vida cotidiana como por ejemplo la escala Richter para medir
terremotos, en la que para pasar de un terremoto de nivel 6 a uno de nivel 7
este ha de ser 10 veces mayor.
El más utilizado de estos niveles es el dBm para medida de potencias.
Simplemente se trata de pasar a decibelios las potencias expresadas en mW.
P[mW]
L(dBm) = 10·log(-----)= 10 log (P(mW))
1mW
Si el lector recuerda, ya hemos visto un ejemplo de como operar con dbm.
Otras magnitudes que se emplean son:
Magnitud Referencia Expresion
P 1W L(dBW) = 10·log(P[W])
P 1KW L(dBKW)= 10·log(P[KW])
V (Tensión) 0.775V L(dBV) = 20·log(V[V]/0.775V)
V 1mV L(dBj) = 20·log(V[mV])
V 1uV (**) L(dBu) = 20·log(V[uV])
Intensidad
sonora 10^-12·W I[W/m²]
ni= -------- NI(dB) = 10 log(--------)
m² ni
** u = letra griega mu de micro (micro voltio)
Cabe reseñar que cuando hablamos de dBV,dBj y dBu el factor por el que se
multiplica es 20, esto es debido a que
V²
P= ---
R
Entonces, tomando como referencia un voltio aplicado a la misma resistencia:
V²
dbV= 10 log (---) = 20 log (V);
1²
Por otra parte, en muchos de los equipos de audio habitualmente se emplea
la unidad dbV (a veces denominada dBu (u latina) o dBv). Un valor de 0 dbu
corresponde al nivel de tensión que aplicado sobre una carga de 600 ohmios
genera una potencia de 1mW. Los dbu toman una referencia de 0.775 Vrms.
P= V²/R => V= (P·R)^1/2 = (0.001· 600)^1/2= 0.775 V
La impedancia de 600 ohms es la estándar para diversos dispositivos y
medios de transmisión, como por ejemplo la línea telefónica, por lo cual se
ha tomado como carga por defecto. El sufico u significa unloaded, es decir
sin carga, expresando que una medida en dBu se toma sin añadir ninguna carga
adicional; esto evidentemente será cierto si estamos midiendo en una línea
telefónica o en cualquier otro medio que presente esa impedancia. En ese
caso, si medimos sobre una carga de 600 ohms, los valores obtenidos con los
dbu coinciden numéricamente con los obtenidos en dbm (puesto que los dbm
toman como referencia un mW).
Para transformar una medida hecha en dBm a dBW y viceversa es algo tan
sencillo como sumar o restar 30dBs. Veamos de dónde viene esto:
1W = 1000 mW = 10^3 mW
1mW= 0.001 W = 10^-3 W
L(dBm)= 10·log(P[W]·1000)= 10·log(P[W]) + 10·log(10^3)= L(dBW) + 30
L(dBW) = 10·log(P[W]/1000)= 10·log(P[mW]) - 10·log(10^3)=L(dBm) - 30
Por tanto:
L(dBm)= L(dBW) + 30
L(dBW)= L(dBm) - 30
Ejemplo: P= 40 W
P(dBW) = 10·log(40) = 16.0206 dBW
P(dBm) = P(dBW) + 30 = 46.0206 dBm
Es importante darse cuenta de que si la señal con la potencia P se hace
pasar por un sistema que a amplifica o la atenúa se amplificarán los
mismos dBs tanto para la P expresada en dBm como para la P expresada en
dBW
Ejemplo: Ganancia G= 20 dB
P_salida(dBW)= P(dBW) + G = 36.0206 dBW
P_salida(dBm)= P(dBm) + G = 66.0206 dBm
Para pasar de dBu a dBm:
L(dBm)= L(dBu) + 10 log(600/R)
Para pasar de dBj a dBm:
L(dbm) = L(dBj) - 30 - 10·log(R)
Estando R en ohmios en ambos casos.
--[5.- Ejemplos ]--
Por último, vamos a ver algunos ejemplos de especificaciones en las que se
usan los dBs como unidades.
Supongamos que tenemos un sistema de telecomunicaciones formado por una
antena conectada a un amplificador con G=1000, un cable de 10m que
introduce unas pérdidas de 0.3 db/m , un amplificador con una ganancia
de 100 y un receptor. Si a la antena le llega una potencia de 10^-8 mW
veamos que potencia tenemos a la entrada del receptor:
)
)-|
) | |----------|
\---[ G1 ]----------10 m de cable ------------[ G2 ]----| Receptor |
|__________|
Preceptor= Pantena(dbm) + G1(db) - Acable(db) + G2(db)
= -80 dbm + 30db - 3 db + 20 db = -33 dbm
El tener una potencia negativa a la entrada de la antena (-80dBm)lo que
significa es que es menor que la potencia referencia, en este caso 1mW.
Vemos una vez más como es más fácil trabajar con dBs, primero al porque
nos han reescalado los datos (pasamos de operar con 0.0000 0001 mW a
operar con-80 dbm) y segundo porque los productos se han convertido en
sumas.
Por ejemplo, a la hora de especificar filtros se nos dan las frecuencias
de corte inferior y superior a 3 dB. Como sabréis la misión de un filtro es
dejar pasar sólo la señal de unas determinadas frecuencias y sus límites
suelen marcarse con las frecuencias de corte a 3 dB.
Filtro Paso-Banda
0dB + -----------------
| +20db/dec/| | \ -20 dB/dec
-3dB +- - - - -/ + - - - - - - - + -\
| / | | \
--------+----------------------------------------> f
0 fl3dB fcl fch fh3dB
En el ejemplo de la figura podemos ver un filtro de ganancia 1
G= 10 ·log (1) = 0 dB
entre las frecuencias fcl y fch. En fl3db y fh3db la señal tiene un nivel
de 3 dBs menos ¿Qué significa esto?
Si es una señal de Voltaje: -3dB= 20·log(G3dB) => G3dB=1/(1.4142)
Si es una señal de potencia: -3dB= 10·log(G3dB) => G3dB=1/2
Es decir, que la frecuencia de corte a 3 dB es la frecuencia en la que la
señal sufre una atenuación de 1/2 (la mitad) si hablamos de una potencia y
1/(2^1/2) (uno partido raiz de dos) si hablamos de una diferencia de
potencial.
También en el dibujo ascii vemos que la pendiente es de -20 dBs/década.
Esto quiere decir que entre la señal a la frecuencia f es atenuada 20 dBs
menos que la señal a la frecuencia 10·f, 40 dBs menos que la señal 100·f
Este tipo de filtros selectivos en frecuencia son muy comunes, por ejemplo,
cuando sintonizas una emisora en tu receptor de radio, estas desplazando
la banda de frecuencias que dejas que demodule tu receptor. Lo mismo sucede
cuando sintonizas la tele o cuando mueves los mandos del equalizador gráfico
de tu cadena musical o en el winamp/xmms.
Otro ámbito en el que es común el empleo de unidades logarítmicas es el de
las especificaciones de las ganancias de antenas. A la ganancia máxima de la
antena se le denomina GANANCIA DE POTENCIA y puede rondar entre 0 dB y 40 dB.
Si se emplea como referencia la antena isotrópica usa como unidad el dbi. La
antena isotrópica tiene una ganancia de 1, o lo que es lo mismo 0 dbi.
A veces también se emplea el dipolo lambda medios (dipolo cuyo tamaño es la
mitad de la longitud de onda de la frecuencia de trabajo). El dipolo lambda/2
tiene una ganancia G= 1.64 (G(db)= 2.1 dBi) respecto a la antena isotrópica.
Por tanto, si en una antena nos especifican su ganancia respecto al dipolo
lambda medios y queremos saber su ganancia respecto de la antena isotrópica
tendremos que sumarle 2.1dB
--[ Despedida y Cierre ]--
Pues hasta aquí hemos llegado con esta pequeña introducción a los decibelios
espero que por lo menos el lector tenga algo más de idea que antes de leer
el artículo. Nos vemos en el próximo número. Un Saludo
NaTaSaB (natasab @ merlos . org)
http://www.merlos.org
--[ Más información ]--
Recordatorio de la matemática Logarítmica
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
Conversor de dBm, dBu, dBW ... (escrito en JavaScript)
http://www.eurisco.com/jack/anttool/decibel-e.html
Introducciónes al decibelio desde otros puntos de vista:
http://platea.pntic.mec.es/~lmarti2/decibelio.htm
http://www.qsl.net/ea7bva/cacharreo/ganancias.txt
Merlos Personal Webpage